support↩︎
\(S_n\)を対称群とする。\(\sigma \in S_n\)に関して
$$ supp(\sigma) := \{ i \in \{ 1, \dots, n \}: \ \sigma(i) \neq i \} $$ で定義される集合\(supp(\sigma)\)をsupportいう。
日本語で言えば、置換\(\sigma\)で写すと行き先が変わる\(\{1, \dots, n\}\)の元からなる集合である。
命題↩︎
\(a, \ b \in S_n\)に関して、 $$ supp(a) \cap supp(b) = \emptyset \implies ab = ba $$証明↩︎
\(i \in \{1 , \dots, n\}\)に関して、 \(supp(a) \cap supp(b) = \emptyset\)には- 1. \(i \notin supp(a) \land i \notin supp(b)\)
- 2. \(i \in supp(a) \land i \notin supp(b)\) \(a, b\)の任意性を考えると、\(i \notin supp(a) \land i \in supp(b)\) と本質的に同じことなので、片方のみを議論しても問題ない。
(当然、\(i \in supp(a) \land i \in supp(b)\)は\(supp(a) \cap supp(b) = \emptyset\)に反することに注意)
1.の場合、
$$
ab(i) \\
= a(i) \ \because i \notin supp(b) \\
= i \ \because i \notin supp(a)
$$
かつ
$$
ba(i) \\
= b(i) \\
= i
$$
なので、\(ab = ba\)である。2.の場合、
$$
ab(i) = a(i) \ \because i \notin supp(b) \\
$$
を得る。\(ba(i)\)を考えると、\(ba(i) = a(i)\)であれば、\(ab=ba\)であることが示されるが、そのためには\(a(i) \notin supp(b)\)である必要がある。
そこで、背理法によって、\(a(i) \notin supp(b)\)であることを示す。
\(a(i) \in supp(b)\)と仮定する。
\(i \in supp(a)\)より\(a(i) \neq i\)であるが、\(a\)は置換であり、全単射の写像なので、単射性より、\(a(i) \neq i \implies a(a(i)) \neq a(i)\)を得る。
よって、\(a(i) \in supp(a)\)となり、\(a(i) \in supp(a) \land a(i) \in supp(b)\)となるので、\(supp(a) \cap supp(b) = \emptyset\)に矛盾する。
よって、\(a(i) \notin supp(b)\)であり、\(ab = ba\)となる。
対偶↩︎
最初は対偶から示そうとしたが自分には難しいと感じた。事後にもう一度考えても結局だるくなるような道しか見えなかった。
おわり↩︎
とりあえず寝かせてから確認しよう。
まあ問題なさそう。
どうせもっとスマートな方法があるんだろう。
調べたら関連していそうなものが出てきた。
https://en.wikipedia.org/wiki/Centralizer_and_normalizer
副読本として使う本を充実させたい。