正規行列がエルミート行列、ユニタリ行列である条件

動機
#

演習で躓いたので。

問題: $\bm{A}$ を正規行列とするとき、次を示せ
#

$\bm{E}$ は単位行列とする。

[1]: $\bm{A}$ の固有値の絶対値が全て1 $\iff$ $\bm{A}$ はユニタリ行列
#

$\bm{A}$ の固有値の絶対値が全て1 $\implies$ $\bm{A}$ はユニタリ行列の証明
#

Aは正規行列なので、ユニタリ行列によって対角化される。
Aがユニタリ行列 $\bm{U}$ によって対角化されるとすると $\bm{U}^{-1}\bm{A}\bm{U} = \bm{U}^{*}\bm{A}\bm{U} = \begin{pmatrix} \lambda_{1} \\ & \lambda_{2} & & \text{\huge{0}} \\ & & \ddots \\ & \text{\huge{0}} & & \ddots \\ & & & & \lambda_{n} \end{pmatrix} \\ \because\bm{U}^{*}\bm{U} = \bm{E} \iff \bm{U}^{*} = \bm{U}^{-1}$

となる。

上記を踏まえて、いま、 $(\bm{U}^{*}\bm{A}\bm{U})^{*}\bm{U}^{*}\bm{A}\bm{U}$ を考えると、これは単位行列 $\bm{E}$ に等しくなることが分かる。

なぜなら、 $(\bm{U}^{*}\bm{A}\bm{U})^{*}\bm{U}^{*}\bm{A}\bm{U}$ の $(\bm{U}^{*}\bm{A}\bm{U})^{*}$ と $\bm{U}^{*}\bm{A}\bm{U}$ の部分に着目すると、後者の対角成分はそれぞれ $\bm{A}$ の固有値になっており、前者の対角成分はそれぞれその共役複素数になっている。

つまり積は
$(\bm{U}^{*}\bm{A}\bm{U})^{*}\bm{U}^{*}\bm{A}\bm{U} = \\ \begin{pmatrix} \overline{\lambda_{1}} \\ & \overline{\lambda_{2}} & & \text{\huge{0}} \\ & & \ddots \\ & \text{\huge{0}} & & \ddots \\ & & & & \overline{\lambda_{n}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_{1} \\ & \lambda_{2} & & \text{\huge{0}} \\ & & \ddots \\ & \text{\huge{0}} & & \ddots \\ & & & & \lambda_{n} \end{pmatrix} = \bm{E} \\ \because \forall c \in \mathbb{C},\space \overline{c}c=\mid c \mid^{2} \implies \overline{\lambda_{i}}\lambda_{i}=\mid 1 \mid^{2}$ となる。

ここで、 $(\bm{U}^{*}\bm{A}\bm{U})^{*}\bm{U}^{*}\bm{A}\bm{U} = \bm{U}^{*}\bm{A}^{*}\bm{U}^{**}\bm{U}^{*}\bm{A}\bm{U} = \bm{U}^{*}\bm{A}^{*}\bm{U}\bm{U}^{*}\bm{A}\bm{U} \\ = \bm{U}^{*}\bm{A}^{*}\bm{A}\bm{U}$ と式変形する。

$\bm{U}^{*}\bm{A}^{*}\bm{A}\bm{U} = \bm{E}$ の両辺に右から $\bm{U}^{*}$ 、左から $\bm{U}$ をかけて $\bm{U}\bm{U}^{*}\bm{A}^{*}\bm{A}\bm{U}\bm{U}^{*} = \bm{U}\bm{E}\bm{U}^{*} \\ \bm{A}^{*}\bm{A} = \bm{U}\bm{E}\bm{U}^{*} \\ \bm{A}^{*}\bm{A} = \bm{E} \space (\because \bm{U}\bm{E} = \bm{E}\bm{U} =\bm{U})$ よって $\bm{A}$ はユニタリ行列である。

$\bm{A}$ はユニタリ行列 $\implies$ $\bm{A}$ の固有値の絶対値が全て1 の証明
#

上の証明を結論から逆に追っていけば示せる。

$\blacksquare$

[2]: $\bm{A}$ の固有値の絶対値が全て実数 $\iff$ $\bm{A}$ はエルミット行列
#

$\bm{A}$ の固有値の絶対値が全て実数 $\implies$ $\bm{A}$ はエルミット行列の証明
#

$\bm{A}$ は正規行列なので、ユニタリ行列 $\bm{U}$ によって $\bm{U}^{*}\bm{AU}= \begin{pmatrix} \lambda_{1} \\ & \lambda_{2} & & \text{\huge{0}} \\ & & \ddots \\ & \text{\huge{0}} & & \ddots \\ & & & & \lambda_{n} \end{pmatrix}$ と対角化される。

よって、 $(\bm{U}^{*}\bm{AU})^{*}$ は $(\bm{U}^{*}\bm{AU})^{*} = \begin{pmatrix} \overline{\lambda_{1}} \\ & \overline{\lambda_{2}} & & \text{\huge{0}} \\ & & \ddots \\ & \text{\huge{0}} & & \ddots \\ & & & & \overline{\lambda_{n}} \end{pmatrix}$ となる。

ここで、仮定より、 $\lambda_{i}$ は実数なので、 $\overline{\lambda_{i}}=\lambda_{i}$ である。

したがって $\bm{U}^{*}\bm{AU}=(\bm{U}^{*}\bm{AU})^{*} \\ \bm{U}^{*}\bm{AU}=\bm{U}^{*}\bm{A}^{*}\bm{U}^{**} \\ \bm{U}^{*}\bm{AU}=\bm{U}^{*}\bm{A}^{*}\bm{U} \\$

両辺に左から $\bm{U}$ 、右からを $\bm{U}^{*}$ かけて $\bm{U}\bm{U}^{*}\bm{AU}\bm{U}^{*}=\bm{U}\bm{U}^{*}\bm{A}^{*}\bm{U}\bm{U}^{*} \\ \bm{A}=\bm{A}^{*}\space(\because \bm{U}\bm{U}^{*}=\bm{E})$ よって、 $\bm{A}$ はエルミット行列である。