正規行列がエルミート行列、ユニタリ行列である条件

動機
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演習で躓いたので。

問題: $\bm{A}$を正規行列とするとき、次を示せ
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$\bm{E}$は単位行列とする。

[1]: $\bm{A}$の固有値の絶対値が全て1$\iff$$\bm{A}$はユニタリ行列
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$\bm{A}$の固有値の絶対値が全て1$\implies$$\bm{A}$はユニタリ行列の証明
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Aは正規行列なので、ユニタリ行列によって対角化される。
Aがユニタリ行列$\bm{U}$によって対角化されるとすると $$ \bm{U}^{-1}\bm{A}\bm{U} = \bm{U}^{*}\bm{A}\bm{U} = \begin{pmatrix} \lambda_{1} \\ & \lambda_{2} & & \text{\huge{0}} \\ & & \ddots \\ & \text{\huge{0}} & & \ddots \\ & & & & \lambda_{n} \end{pmatrix} \\ \because\bm{U}^{*}\bm{U} = \bm{E} \iff \bm{U}^{*} = \bm{U}^{-1} $$

となる。

上記を踏まえて、いま、$(\bm{U}^{*}\bm{A}\bm{U})^{*}\bm{U}^{*}\bm{A}\bm{U}$を考えると、これは単位行列$\bm{E}$に等しくなることが分かる。

なぜなら、$(\bm{U}^{*}\bm{A}\bm{U})^{*}\bm{U}^{*}\bm{A}\bm{U}$の $(\bm{U}^{*}\bm{A}\bm{U})^{*}$と$\bm{U}^{*}\bm{A}\bm{U}$の部分に着目すると、後者の対角成分はそれぞれ$\bm{A}$の固有値になっており、前者の対角成分はそれぞれその共役複素数になっている。

つまり積は
$$ (\bm{U}^{*}\bm{A}\bm{U})^{*}\bm{U}^{*}\bm{A}\bm{U} = \\ \begin{pmatrix} \overline{\lambda_{1}} \\ & \overline{\lambda_{2}} & & \text{\huge{0}} \\ & & \ddots \\ & \text{\huge{0}} & & \ddots \\ & & & & \overline{\lambda_{n}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_{1} \\ & \lambda_{2} & & \text{\huge{0}} \\ & & \ddots \\ & \text{\huge{0}} & & \ddots \\ & & & & \lambda_{n} \end{pmatrix} = \bm{E} \\ \because \forall c \in \mathbb{C},\space \overline{c}c=\mid c \mid^{2} \implies \overline{\lambda_{i}}\lambda_{i}=\mid 1 \mid^{2} $$ となる。

ここで、 $$ (\bm{U}^{*}\bm{A}\bm{U})^{*}\bm{U}^{*}\bm{A}\bm{U} = \bm{U}^{*}\bm{A}^{*}\bm{U}^{**}\bm{U}^{*}\bm{A}\bm{U} = \bm{U}^{*}\bm{A}^{*}\bm{U}\bm{U}^{*}\bm{A}\bm{U} \\ = \bm{U}^{*}\bm{A}^{*}\bm{A}\bm{U} $$ と式変形する。

$$ \bm{U}^{*}\bm{A}^{*}\bm{A}\bm{U} = \bm{E} $$ の両辺に右から$\bm{U}^{*}$、左から$\bm{U}$をかけて $$ \bm{U}\bm{U}^{*}\bm{A}^{*}\bm{A}\bm{U}\bm{U}^{*} = \bm{U}\bm{E}\bm{U}^{*} \\ \bm{A}^{*}\bm{A} = \bm{U}\bm{E}\bm{U}^{*} \\ \bm{A}^{*}\bm{A} = \bm{E} \space (\because \bm{U}\bm{E} = \bm{E}\bm{U} =\bm{U}) $$ よって$\bm{A}$はユニタリ行列である。

$\bm{A}$はユニタリ行列$\implies$$\bm{A}$の固有値の絶対値が全て1 の証明
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上の証明を結論から逆に追っていけば示せる。

$\blacksquare$

[2]: $\bm{A}$の固有値の絶対値が全て実数$\iff$$\bm{A}$はエルミット行列
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$\bm{A}$の固有値の絶対値が全て実数$\implies$$\bm{A}$はエルミット行列の証明
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$\bm{A}$は正規行列なので、ユニタリ行列$\bm{U}$によって $$ \bm{U}^{*}\bm{AU}= \begin{pmatrix} \lambda_{1} \\ & \lambda_{2} & & \text{\huge{0}} \\ & & \ddots \\ & \text{\huge{0}} & & \ddots \\ & & & & \lambda_{n} \end{pmatrix} $$ と対角化される。

よって、$(\bm{U}^{*}\bm{AU})^{*}$は $$ (\bm{U}^{*}\bm{AU})^{*} = \begin{pmatrix} \overline{\lambda_{1}} \\ & \overline{\lambda_{2}} & & \text{\huge{0}} \\ & & \ddots \\ & \text{\huge{0}} & & \ddots \\ & & & & \overline{\lambda_{n}} \end{pmatrix} $$ となる。

ここで、仮定より、$\lambda_{i}$は実数なので、$\overline{\lambda_{i}}=\lambda_{i}$である。

したがって $$ \bm{U}^{*}\bm{AU}=(\bm{U}^{*}\bm{AU})^{*} \\ \bm{U}^{*}\bm{AU}=\bm{U}^{*}\bm{A}^{*}\bm{U}^{**} \\ \bm{U}^{*}\bm{AU}=\bm{U}^{*}\bm{A}^{*}\bm{U} \\ $$

両辺に左から$\bm{U}$、右からを$\bm{U}^{*}$かけて $$ \bm{U}\bm{U}^{*}\bm{AU}\bm{U}^{*}=\bm{U}\bm{U}^{*}\bm{A}^{*}\bm{U}\bm{U}^{*} \\ \bm{A}=\bm{A}^{*}\space(\because \bm{U}\bm{U}^{*}=\bm{E}) $$ よって、$\bm{A}$はエルミット行列である。