動機 #
抽象ベクトル空間とその部分空間のゼロベクトルについて分からないことがあったので良い機会だと思い復習して記事にまとめた。
抽象ベクトル空間の定義 #
\(n\)項数ベクトル空間がもつ性質を一般化して公理として採用したもの。
空集合でない集合\(V\)に和とスカラー倍が定義されており、\(V\)の任意の元(ベクトル)\(\bm{u}, \space \bm{v}, \space \bm{w}\)と任意のスカラー\(\lambda, \space \mu \)に関して以下の全ての公理を満たす場合、\(V\)を抽象ベクトル空間(abstract vector space)という。
抽象ベクトル空間の元はベクトルと呼ばれる。
あくまで抽象的なベクトルであることに注意。
抽象ベクトル空間は抽象的ベクトル空間、または単にベクトル空間とよばれることもある。(というかその方が一般的なようだ。)
和(加法)に関しての公理 #
- \(\bm{u} + \bm{v} \in V \) (和に関して閉じている)
- \( \bm{u} + \bm{v} = \bm{v} + \bm{u}\) (可換律(Commutativity))
- \( \bm{u} + (\bm{v} + \bm{w}) = (\bm{u} + \bm{v}) + \bm{w} \) (結合律(Associativity))
- \(\exists \bm{x} \in V, \space \bm{u} + \bm{x} = \bm{u} = \bm{x} + \bm{u}\) (単位元(identity element)の存在)
そのような\(\bm{x}\)はゼロ(零)ベクトル(zero vector)、zero element、\(\bm{0}\)と呼ばれる。 - \(\forall \bm{u} \in V, \space \exists - \bm{u} \in V, \space -\bm{u} + \bm{u} =\bm{0}, \space \bm{u} + (-\bm{u}) =\bm{0} \)
逆元(inverse element)の存在
スカラー倍に関しての公理 #
- \(\lambda\bm{u} \in V\) (スカラー倍に関して閉じている)
- \(\lambda(\bm{u}+\bm{v}) = \lambda\bm{u} + \lambda\bm{v}\) (分配律(Distributivity))
- \((\lambda+\mu)\bm{u} = \lambda \bm{u} + \mu \bm{u}\) (分配律(Distributivity))
- \(\lambda (\mu \bm{u})=(\lambda \mu)\bm{u}\)
- \(\forall \bm{u} \in V, \space 1\bm{v}=\bm{v}\)
抽象ベクトル空間の具体例 #
n項数ベクトル空間\(R^n\) #
n項数ベクトル空間とは、n項数の数ベクトル $$ \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} $$ の全体の集合である。
これはベクトル空間の一例である。
加法は $$ \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ \vdots \\ a_n + b_n \end{pmatrix} $$ のように定義することができる。
加法の単位元、つまり、公理によって要請されるゼロベクトルは $$ \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} $$ である。
多くの参考書では、まず\(R^n\)が抽象ベクトル空間より先に導入されることもあり、これがベクトル空間の公理を満たしそうなのは分かるだろう。
複素数上のn項数ベクトル空間\(C^n\)も同様にベクトル空間と見ることができる。
注意点 #
重要なことだが、ベクトル空間のベクトルはあくまで公理を満たしてさえいれば、\(R^n\)のベクトルのように、n個の組(🔗タプル, tuple)になっていないといけないわけではない。
ベクトル空間のベクトルは抽象的なベクトルであり、数ベクトルと区別する必要がある。
ここをしっかり認識しておかないと後々泣きを見る羽目になる。(体験談)
以下のベクトル空間の例でそのことが分かる。
m行n列の行列全体の集合 #
\(m \times n \)行列の行列の和とスカラー倍によってベクトル空間になることが分かる。
この場合、公理によって要請されるベクトルとは\(m \times n\)行列のことであり、加法の単位元、ゼロベクトルは\(m \times n\)零行列\(\bm{O}\)である。
実数を係数とする変数\(x\)の多項式全体 #
$$ \bm{R}[x] = \lbrace a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n | \space a_i \in \Reals \rbrace $$ はベクトル空間になる。
$$ p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots \\ q(x) = b_0 + b_1 x + b_2 x^2 + \dots \\ $$ に関して、 $$ p(x) + q(x) = (a_0 + b_0) + (a_1+ b_1)x + (a_2 + b_2) x^2 + \dots \\ kp(x) = ka_0 + ka_1x + ka_2x^2 + \dots $$ と和とスカラー倍を定義する。
n次以下の多項式全体 #
実数を係数とする変数\(x\)の多項式で次数が\(n\)以下のもの $$ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0 x^0 $$ の全体。
n個の文字\(x_1, \space x_2, \space \dots, \space x_n\)の1次式の全体 #
$$ f(x_1, \space x_2, \space \dots, \space x_n) = a_1 x_1 + a_2 x_2 + \dots + a_n x_n $$ の全体。
開区間上で定義された実数値連続関数全体 #
開区間\((a,\space b)\)上で定義された実数値連続関数全体\(F(a,b)\)はベクトル空間である。
和は $$ \forall c \in (a,\space b),\space (f+g)(c)= f(c) + g(c) $$
スカラー倍は $$ \forall c \in (a,\space b),\space (kf)(c)= f(kc) $$
ゼロベクトルは $$ \forall c \in,\space h(x)=0 $$ を満たすような定数関数(constant function)関数\(h\)。
ベクトル空間の演算に関する基本的な定理 #
ベクトル空間では、ベクトルに関しては公理で導入されている演算のみしか利用できない。
簡約 cancellation #
ベクトル空間\(V\)の元(ベクトル)、\(\bm{u}, \space \bm{v}, \space \bm{w}\)について、 $$ \bm{v} + \bm{u}= \bm{v} + \bm{w} \iff \bm{u} = \bm{w} $$
この関係は普通の数であれば、両辺から\(\bm{v}\)を引くことによって示すことができる。
しかし、ベクトル空間に差(引き算)は定義されていないので、ベクトルのスカラー倍と和で示す必要がある。
これは、公理によって存在が保証される\(v\)の逆元\(-\bm{v}\)を両辺に足す(ベクトルの和)という方法で達成することができる。
つまり、 $$ \bm{v} + \bm{u}= \bm{v} + \bm{w} \\ -\bm{v} + (\bm{v} + \bm{u}) = -\bm{v} + (\bm{v} + \bm{w}) \\ (-\bm{v} + \bm{v}) + \bm{u} = (-\bm{v} + \bm{v}) + \bm{w} \\ \bm{0} + \bm{u} = \bm{0} + \bm{w} \\ \bm{u} = \bm{w} $$
逆は\(\bm{u}=\bm{w}\)の両辺に\(\bm{v}\)を足せば良い。
その他 #
上述のcancellationや公理をうまく利用することで、
- \( \bm{x} + \bm{v} = \bm{u} \iff \bm{x} = \bm{u} - \bm{v} \)
- \( 0\bm{v}=\bm{0} \)
- \( k\bm{0}=\bm{0} \)
- \( k\bm{v} = \bm{0} \implies k=0 \space or \space \bm{v} = \bm{0} \)
- \( (-k)\bm{v} =-(k\bm{v})= k(-\bm{v}) \)
- \((-1)\bm{v}=-\bm{v}\)
といった基本的な定理を導くことができる。
部分空間(部分ベクトル空間)の定義 #
ベクトル空間\(V\)の空でない部分集合\(W\)が\(V\)における和とスカラー倍の演算によってベクトル空間になるとき、\(W\)を\(V\)の部分空間(subspace, vector subspace)という。
つまり、(体\(K\)上の)抽象ベクトル空間\(V\)の部分集合\(W\)が部分空間であるための必要十分条件は
- \(W \neq \emptyset \) (Wは空集合でない)
- \(\bm{a}, \space \bm{b} \in W \implies \bm{a} + \bm{b} \in W\)
- \(\bm{a} \in W, \space \lambda \in K \implies \lambda \bm{a} \in W \)
を全て満たすことである。
\(W\)がベクトル空間であることの証明は探せば見つかるはずなので省略する。
\(W\)の演算が\(V\)で導入したものであることと、和とスカラー倍に対して閉じていることから示すことができる。
1の条件の代わりに\(\bm{0} \in W\)と書かれることがあるが、同じことである。
補足(クリックで展開)
\(\bm{0} \in W \implies W \neq \emptyset \)は明らか。
\(W \neq \emptyset\)を仮定すると、\(W\)は少なくとも1つの元をもつので、ある\(\bm{w} \in W\)を考えることができ、スカラー倍に関して閉じていることから、\(0 \bm{w} = \bm{0} \in W\)となる。
2, 3については同値な条件がある。
\( \forall \lambda,\space \mu \in K, \space \forall \bm{a}, \space \bm{b} \in W, \space \lambda \bm{a} + \mu \bm{b} \in W\)である。
同値であることの証明(クリックで展開)
2, 3を仮定すると、3より\(\lambda \bm{a},\space \mu \bm{b} \in W\)であり、2より\( \lambda \bm{a} + \mu \bm{b} \in W\)となる。
逆に、 \(\lambda \bm{a} + \mu \bm{b} \in W\)を仮定すると、\(\lambda= \mu =1\)とすれば2が示され、\(\mu = 0\)とすれば3が示される。
部分空間の例 #
部分空間の定義はシンプルなので分かりやすいが、実例をいくつか見てどのような様子か認識しておいたほうが良いと思う。
部分空間はベクトル空間なので、ベクトル空間の実例の参考にもなる。
\(\{0\}\)と自分自身 #
ベクトル空間\(V\)のゼロベクトル(\(\bm{0}\))だけからなる集合\(\lbrace \bm{0} \rbrace\)と\(V\)自身は\(V\)の部分空間である。
\(\lbrace \bm{0} \rbrace\)はゼロ部分空間(zero subspace)とよばれる。
\(R\bm{v}\) #
ベクトル空間\(V\)のベクトル\(\bm{v}\)に対して、 $$ R\bm{v} = \lbrace k\bm{v}|\space k \in R \rbrace $$ つまり、\(\bm{v}\)のスカラー倍全体の集合は\(V\)の部分空間になる。
部分空間であることの証明(クリックで展開)
\(\bm{0} = 0 \bm{v}\)より、\(\bm{0} \in R\bm{v}\)。
つまり、\(R\bm{v}\)は空でない。
\(k_1 \bm{v}, \space k_2 \bm{v} \in R\bm{v}\)に関してその和は\((k_1 + k_2)\bm{v} \in R\bm{v}\)である。
\(k\bm{v}\)に関して、そのスカラー倍は\(j(k\bm{v}) = (jk)\bm{v} \in R\bm{v}\)となる。
よって\(R\bm{v}\)は\(V\)の部分空間である。
n\(\times\)n行列全体の部分空間の例 #
\(\bm{M_{nn}}\)をn\( \times \)n行列全体からなるベクトル空間とする。
\( A \in \bm{M_{nn}} \)に対して、
$$
U = \lbrace X \in \bm{M_{nn}} | \space AX=XA \rbrace
$$
は\( \bm{M_{nn}} \)の部分空間になる。
\(A\)を固定した際に、\(A\)との(行列の)積が可換である\( \bm{M_{nn}} \)の行列\(X\)の全体の集合だ。
部分空間であることの証明(クリックで展開)
\(O\)を\(O \in \bm{M_{nn}}\)である零行列とする。
しつこいようだが、この零行列が\(\bm{M_{nn}}\)の場合の、ベクトル空間の加法の公理によって要請される単位元、ゼロベクトルである。
\(AO = OA\)より、\( O \in U\)であり、\(U\)は空ではない。
\(X_1, \space X_2 \in U\)に関して、定義より、\( AX_1 = X_1A,\space AX_2 = X_2A\)であり、 $$ A(X_1 + X_2) = AX_1 + AX_2 = X_1A + X_2A = (X_1+ X_2) A $$ なので和に関して閉じている。
また、 $$ A(kX_1)=k(AX_1)=k(X_1A)= (kX_1)A $$ なのでスカラー倍に関しても閉じている。
よって、\(U\)は\( \bm{M_{nn}} \)の部分空間である。
部分空間の生成 #
\(V\)のいくつかのベクトルから\(V\)の部分空間を生成する基本的な方法である。
一次結合 #
ベクトル空間\(V\)のベクトル\( v_1, \space \dots, \space v_n \)とスカラー\( k_1, \space \dots, \space k_n \)に対して、 $$ k_1 v_1 + k_2 v_2 + \dots + k_n v_n $$ をベクトル\( v_1, \space \dots, \space v_n \)の一次結合という。
ベクトル空間の抽象的なベクトルに対して定義されていることに注意。
一次結合による部分空間の生成 #
\(V\)を\(R\)上のベクトル空間、\(\bm{a_1}, \space \dots , \space \bm{a_r}\)を\(V\)のベクトルとする。
\(\bm{a_1}, \space \dots , \space \bm{a_r}\)の一次結合の全体、
$$
W = \lbrace x_1 \bm{a_1} + x_2 \bm{a_2} + \dots + x_r \bm{a_r} | \space x_i \in R, \space i=1, \space \dots, \space r \rbrace
$$
は\(V\)の部分空間になる。
証明(クリックで展開)
\(W\)が部分空間であることを証明する。
部分空間の定義の項で証明した同値な関係を利用する。
まず、例えば\(x_i = 1\)とすると、\(\bm{a_i} \in W\)であるから、\(W\)は空ではない。
\(\bm{x},\space \bm{y}\)を\(W\)の任意のベクトルとすると、仮定より、 $$ \bm{x}= x_1 \bm{a_1} + x_2 \bm{a_2} + \dots + x_n \bm{a_n} \\ \bm{y}= y_1 \bm{a_1} + y_2 \bm{a_2} + \dots + y_n \bm{a_n} $$ と表せる。
任意の\(\lambda, \space \mu \in R\)について $$ \lambda \bm{x} + \mu \bm{y} = (\lambda x_1 + \mu y_1) \bm{a_1} + (\lambda x_2 + \mu y_2) \bm{a_2} + \dots + (\lambda x_n + \mu y_n) \bm{a_n} $$ となるので、\(W\)の定義より、\(\lambda \bm{x} + \mu \bm{y} \in W\)である。
よって、\(W\)は部分空間である。
\(W\)を\(S[a_1, \space \dots , \space a_r]\), \(span \lbrace a_1, \space \dots , \space a_r \rbrace\)などと表したりもする。
このとき、\(W\)を\(\bm{a_1}, \space \dots , \space \bm{a_r}\)によって生成される、張られる部分空間とよぶ。
また、\(\bm{a_1}, \space \dots , \space \bm{a_r}\)を\(W\)の生成系とよぶ。
ベクトル空間とその部分空間のゼロベクトル #
\(V\)をベクトル空間として\(W\)をその部分空間とする。
\(V, \space W\)はともにベクトル空間であり、ベクトル空間の公理よりスカラー倍に関して閉じているので、 \(\bm{v} \in V\)について\( 0 \bm{v} = \bm{0}_v \in V\)、 \(\bm{w} \in W\)について\( 0 \bm{w} = \bm{0}_w \in W\)となる。
ところで、この\(V\)のゼロベクトル\(\bm{0}_v\)と\(W\)のゼロベクトル\(\bm{0}_w\)は等しくなるのだろうか？
答えは常にYesである。
\(\bm{0}_w \in V\)なので、公理より\(\bm{0}_v + \bm{0}_w = \bm{0}_w\)である。
両辺に\(\bm{0}_w\)を加えて、 $$ \bm{0}_v + \bm{0}_w + \bm{0}_w = \bm{0}_w + \bm{0}_w \\ \bm{0}_v + \bm{0}_w = \bm{0}_w + \bm{0}_w \because \bm{0}_w + \bm{0}_w = \bm{0}_w $$
公理によって、\(V\)の任意の元には和に関する逆元が存在するので、\(\bm{0}_w\)の逆元\(-\bm{0}_w\)が存在する。
これを両辺に足す。
$$ \bm{0}_v + \bm{0}_w -\bm{0}_w = \bm{0}_w + \bm{0}_w - \bm{0}_w $$ ここで、\(\bm{0}_w - \bm{0}_w = \bm{0}_v\)(\(V\)に関して、ある元とその逆元の和)より、 $$ \bm{0}_v + \bm{0}_v = \bm{0}_v + \bm{0}_w $$
上述のcancellationを適用すれば、\(\bm{0}_v = \bm{0}_w\)を得る。
抽象ベクトル空間上の線形写像 #
\(V, \space W\)を体\(K\)上のベクトル空間とする。
\(V\)から\(W\)への写像\(f\)が
- \(\forall \bm{x}, \space \bm{y} \in V ,\space f(\bm{x} + \bm{y})= f(\bm{x}) + f(\bm{y})\)
- \(\forall \bm{x} \in V, \space \forall \lambda \in K, \space f(\lambda \bm{x})=\lambda f(\bm{x})\)
を満たすとき、\(f\)は線形写像である。
線形写像\(f: V \to W\)、\(g: W \to X\)の合成写像\(g \circ f: V \to X\)は線形写像になることが、\(f, \space g\)の線形性によって示される。
参考文献 #
- 🔗線形代数学 (川久保勝夫 著)
- 🔗A First Course In Linear Algebra (Robert A Beezer 著)
- 🔗理工系の基礎線形代数学 (硲野 敏博, 加藤 芳文 著)
- 🔗線形空間論入門 (明松 真司 著)
編集後記 #
動機で述べた目的は達成したのでここらへんで終わりにする。
一次関係、一次独立についてもついでにまとめようと思ったが、思ったより大きくなりそうなので諦めた。