基底のベクトルの組をそれぞれ線形写像で写した際の一次独立性について

何を調べるのか
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$V, \space W$ をベクトル空間、 $f: V \to W$ を線形写像として、 $\mathrm{dim} \space V = n, \space \mathrm{dim} \space W = m$ とする。

$V$ のベクトル $\bm{v}_{1}, \space \dots, \space \bm{v}_{k}$ をそれぞれ線形写像写した $f(\bm{v}_{1}), \space \dots, \space f(\bm{v}_{k})$ は一次独立になるのか、一次従属になるのかというのが今回調べることだ。

線形写像の全射、単射と同値な条件を利用しているので忘れていたら🔗関連記事: 線形写像が単射、全射になる必要十分条件を参照してほしい。

一次従属性は常に保たれる
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$\bm{v}_{1}, \space \dots, \space \bm{v}_{k}$ が一次従属だと仮定する。

一次関係 $c_1 \bm{v}_{1} + \dots + c_k \bm{v}_{k} = \bm{0}_V$ について、仮定より少なくともある $c_i$ が $0$ でない。

両辺を $f$ で写してから線形性を利用して変形すると、

$c_1 \bm{v}_{1} + \dots + c_k \bm{v}_{k} = \bm{0}_V \\ f(c_1 \bm{v}_{1} + \dots + c_k \bm{v}_{k}) = f(\bm{0}_V) \\ c_1 f(\bm{v}_{1}) + \dots + c_k f(\bm{v}_{k}) = \bm{0}_W$ という一次関係を考えることができで、 $c_i \neq 0$ より $f(\bm{v}_{1}), \space \dots, \space f(\bm{v}_{k})$ は一次従属となる。

よって、 $f$ がどのような線形写像であっても、一次従属性は必ず保たれる。

一次独立性は常に保たれるわけではない
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上の証明で $c_1 \bm{v}_{1} + \dots + c_k \bm{v}_{k} = \bm{0}_V$ から $c_1 f(\bm{v}_{1}) + \dots + c_k f(\bm{v}_{k}) = \bm{0}_W$ が導かれているのを見ると一見一次独立性も保たれるじゃんと思ってしまうが、実は一次独立性は常に保たれるわけではない。

なぜなら、例えば $f$ が $\bm{v}_i$ を $\bm{0}$ に写してしまったら、 $c_i \neq 0$ でも等式が成立してしまうので、一次従属に成り下がってしまうからだ。

一次独立性が常に保たれる条件
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では、一次独立性が保たれるのはどんなときだろうか？

実は、 $f$ が単射であるとき、一次独立性が保たれることがわかる。

なぜなら、 $f$ が単射であれば $\mathrm{Ker} \space f = \lbrace \bm{0} \rbrace$ なので、 $\bm{v}_{1}, \space \dots, \space \bm{v}_{k}$ について、 $c_1 f(\bm{v}_{1}) + \dots + c_k f(\bm{v}_{k}) = \bm{0}$ という一次関係を考えることができる。

この関係は $f$ の線形性から、 $c_1 f(\bm{v}_{1}) + \dots + c_k f(\bm{v}_{k}) = \bm{0} \\ f( c_1 \bm{v}_{1} + \dots + c_k \bm{v}_{k}) = \bm{0}$ と変形することができる。

そして、 $f$ が単射であることから、 $c_1 \bm{v}_{1} + \dots + c_k \bm{v}_{k}=\bm{0}$ となり、一次独立性が保たれていることがわかる。

単射でない場合の具体例
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$f$ が単射でない場合は、写した結果は常に一次独立であるとは言えなくなる。

例えば、 $g: \Reals^3 \to \Reals^2, \space g(a, b, c) = (b,c)$ という単射でない線形写像を考えると、 $(0,1,0), (1,1,0)$ は一次独立だが、 $g$ で写すと、それぞれ $(1,0)$ に写って一次従属である。

他方、 $(0,1,0), (0,0,1)$ を写すと一次独立になる。

$f$ が同型写像(全単射)の場合
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同型写像で写した場合は、 $W$ の基底を得ることがわかる。

任意の $V$ のベクトル $\bm{x} \in V$ は $\bm{x} = k_1 \bm{v}_1 + \dots + k_n \bm{v}_n$ と $V$ の基底の一次結合で表すことができて、 $f$ で写すと $f(\bm{x}) = f (k_1 \bm{v}_1 + \dots + k_n \bm{v}_n) \\ = f (k_1 \bm{v}_1) + \dots + f(k_n \bm{v}_n) \\ = k_1 f (\bm{v}_1) + \dots + k_n f(\bm{v}_n)$ と変形できる。