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対角行列の可換性

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数学 線形代数 線形代数 対角行列 行列 可換 単位行列 正方行列
著者
gf
目次

対角行列
#

🔗https://en.wikipedia.org/wiki/Diagonal_matrix

対角成分以外が全て00である行列。
ここでは正方行列のみを扱う。

例:
(100007000089300001145) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -893 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1145 \end{pmatrix}

対角行列は行列の積に関して常に可換か?
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常に可換ではない。

調査
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任意の正方行列AAと対角成分がk1, , knk_1,\space \dots , \space k_nである正方対角行列の積を計算して観察する。

AAiijj列の成分はaija_{ij}で表す。

パターン1 (k1Ok2Okn)A=(k1a11k1a12k1a1nk2a21k2a22k2a2nknan1knan2knann) \begin{pmatrix} k_1 & & & & O \\ & k_2 & & & \\ & & \ddots & & \\ O & & & & k_n \\ \end{pmatrix}A =\begin{pmatrix} k_1 a_{11} & k_1 a_{12} & \dots & k_1 a_{1n} \\ k_2 a_{21} & k_2 a_{22} & \dots & k_2 a_{2n} \\ & & \vdots & \\ k_n a_{n1} & k_n a_{n2} & \dots & k_n a_{nn} \end{pmatrix}

パターン2 A(k1Ok2Okn)=(a11k1a12k2a1nkna21k1a22k2a2nknan1k1an2k2annkn) A\begin{pmatrix} k_1 & & & & O \\ & k_2 & & & \\ & & \ddots & & \\ O & & & & k_n \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_{11} k_1 & a_{12} k_2 & \dots & a_{1n} k_n \\ a_{21} k_1 & a_{22} k_2 & \dots & a_{2n} k_n \\ & & \vdots & \\ a_{n1} k_1 & a_{n2} k_2 & \dots & a_{nn} k_n \end{pmatrix}

以上の2つの積のパターンの結果内のkik_{i}に着目すると、完全に一致していないので、常に可換ではないことがわかる。

単位行列の定数倍と任意の行列の積は可換
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先程の計算結果を観察すると、例えば、全てのkik_iが等しいときは可換であることがわかる。

これは任意の正方行列XXと単位行列EEのスカラー倍kEkEについて、 X(kE)=(kE)X X(kE) = (kE)X であることを示している。

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