対角行列
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🔗https://en.wikipedia.org/wiki/Diagonal_matrix
対角成分以外が全て0である行列。
ここでは正方行列のみを扱う。
例:
1000070000−89300001145
対角行列は行列の積に関して常に可換か?
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常に可換ではない。
調査
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任意の正方行列Aと対角成分がk1, …, knである正方対角行列の積を計算して観察する。
Aのi行j列の成分はaijで表す。
パターン1
k1Ok2⋱OknA=k1a11k2a21knan1k1a12k2a22knan2……⋮…k1a1nk2a2nknann
パターン2
Ak1Ok2⋱Okn=a11k1a21k1an1k1a12k2a22k2an2k2……⋮…a1nkna2nknannkn
以上の2つの積のパターンの結果内のkiに着目すると、完全に一致していないので、常に可換ではないことがわかる。
単位行列の定数倍と任意の行列の積は可換
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先程の計算結果を観察すると、例えば、全てのkiが等しいときは可換であることがわかる。
これは任意の正方行列Xと単位行列Eのスカラー倍kEについて、
X(kE)=(kE)X
であることを示している。