対角行列の可換性

対角行列

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🔗https://en.wikipedia.org/wiki/Diagonal_matrix

対角成分以外が全て$0$である行列。
ここでは正方行列のみを扱う。

例:
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -893 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1145 \end{pmatrix}$$

対角行列は行列の積に関して常に可換か？

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常に可換ではない。

調査

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任意の正方行列$A$と対角成分が$k_1,\space \dots , \space k_n$である正方対角行列の積を計算して観察する。

$A$の$i$行$j$列の成分は$a_{ij}$で表す。

パターン1 $$\begin{pmatrix} k_1 & & & & O \\ & k_2 & & & \\ & & \ddots & & \\ O & & & & k_n \\ \end{pmatrix}A =\begin{pmatrix} k_1 a_{11} & k_1 a_{12} & \dots & k_1 a_{1n} \\ k_2 a_{21} & k_2 a_{22} & \dots & k_2 a_{2n} \\ & & \vdots & \\ k_n a_{n1} & k_n a_{n2} & \dots & k_n a_{nn} \end{pmatrix}$$

パターン2 $$A\begin{pmatrix} k_1 & & & & O \\ & k_2 & & & \\ & & \ddots & & \\ O & & & & k_n \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_{11} k_1 & a_{12} k_2 & \dots & a_{1n} k_n \\ a_{21} k_1 & a_{22} k_2 & \dots & a_{2n} k_n \\ & & \vdots & \\ a_{n1} k_1 & a_{n2} k_2 & \dots & a_{nn} k_n \end{pmatrix}$$

以上の2つの積のパターンの結果内の$k_{i}$に着目すると、完全に一致していないので、常に可換ではないことがわかる。

単位行列の定数倍と任意の行列の積は可換

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先程の計算結果を観察すると、例えば、全ての$k_i$が等しいときは可換であることがわかる。

これは任意の正方行列$X$と単位行列$E$のスカラー倍$kE$について、 $$X(kE) = (kE)X$$ であることを示している。