行列の計算で行列を列ベクトルや行ベクトルの集まりとみなして計算して本当に良いのか？

動機
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頻出するが毎回分からなくなるので整理しておくことにした。

行列をベクトルの集まりとみなす
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どういうことかというと、$A$という行列があって、$A$の各行ベクトルを$\bm{a}_{i}$、各列ベクトルを$\bm{a}_{i}^{\prime}$としたときに、 $$ A=\begin{pmatrix} \bm{a}_{1} \\ \vdots \\ \bm{a}_{n} \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\bm{a}_{1}^{\prime} & \dots & \bm{a}_{n}^{\prime} \end{pmatrix} $$ と変形する操作のことだ。

そのようにして行列の演算を行っても結果が違ったりしないのかどうか確かめる。

行列の積の変形
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まず、行列の積が定義されるのは積の左側の行列の列数と右側の行列の行数が等しいときのみであることに注意。

俺は(左から)列行と覚えている。
積の結果の行列の型は左側の行列の行数と右側の行列の列数になるので、(左から)行列と覚えている。

$A, B$を$n$次正方行列とする。積が定義される変形パターンには

$$ \begin{pmatrix}\bm{a}_{1}^{\prime} & \dots & \bm{a}_{n}^{\prime} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \bm{b}_{1} \\ \vdots \\ \bm{b}_{n} \\ \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} \bm{a}_{1} \\ \vdots \\ \bm{a}_{n} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\bm{b}_{1}^{\prime} & \dots & \bm{b}_{n}^{\prime} \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix}\bm{a}_{1}^{\prime} & \dots & \bm{a}_{n}^{\prime} \end{pmatrix} B $$
$$ A\begin{pmatrix} \bm{b}_{1} \\ \vdots \\ \bm{b}_{n} \\ \end{pmatrix} $$ などがあるだろう。(漏れがあるかもしれんが)

順に検証していく。

行列の積の結果の型は左側の行列の行数と右側の行列の列数であることを思い出しておこう。

1の検証
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$$ \begin{pmatrix}\bm{a}_{1}^{\prime} & \dots & \bm{a}_{n}^{\prime} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \bm{b}_{1} \\ \vdots \\ \bm{b}_{n} \\ \end{pmatrix} = \bm{a}_{1}^{\prime} \bm{b}_{1} + \dots + \bm{a}_{n}^{\prime} \bm{b}_{n} \\ = \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} \end{pmatrix} + \dots + \begin{pmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{n1} & b_{n2} & \dots & b_{nn} \end{pmatrix} \\ \small = \begin{pmatrix} a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & \dots & a_{11} b_{1n} \\ a_{21} b_{11} & a_{21} b_{12} & \dots & a_{21} b_{1n} \\ \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ a_{n1} b_{11} & a_{n1} b_{12} & \dots & a_{n1} b_{1n} \end{pmatrix} + \dots + \begin{pmatrix} a_{1n} b_{n1} & a_{1n} b_{n2} & \dots & a_{1n} b_{nn} \\ a_{2n} b_{n1} & a_{2n} b_{n2} & \dots & a_{2n} b_{nn} \\ \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ a_{nn} b_{n1} & a_{nn} b_{n2} & \dots & a_{nn} b_{nn} \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} \bm{a}_{1} \bm{b}_{1}^{\prime} & \dots & \bm{a}_{1} \bm{b}_{n}^{\prime} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ \bm{a}_{n} \bm{b}_{1}^{\prime} & \dots & \bm{a}_{n} \bm{b}_{n}^{\prime} \end{pmatrix} = AB $$

2の検証
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$$ \begin{pmatrix} \bm{a}_{1} \\ \vdots \\ \bm{a}_{n} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\bm{b}_{1}^{\prime} & \dots & \bm{b}_{n}^{\prime} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bm{a}_{1} \bm{b}_{1}^{\prime} & \bm{a}_{1} \bm{b}_{2}^{\prime} & \dots & \bm{a}_{1} \bm{b}_{n}^{\prime} \\ \bm{a}_{2} \bm{b}_{1}^{\prime} & \bm{a}_{2} \bm{b}_{2}^{\prime} & \dots & \bm{a}_{2} \bm{b}_{n}^{\prime} \\ \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ \bm{a}_{n} \bm{b}_{1}^{\prime} & \bm{a}_{n} \bm{b}_{2}^{\prime} & \dots & \bm{a}_{n} \bm{b}_{n}^{\prime} \end{pmatrix} = AB $$

3の検証
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これはちょっとややこしい。

$$ \begin{pmatrix}\bm{a}_{1}^{\prime} & \dots & \bm{a}_{n}^{\prime} \end{pmatrix} B = \tiny \begin{pmatrix} \bm{a}_{1}^{\prime} b_{11} + \dots + \bm{a}_{n}^{\prime} b_{n1} & \bm{a}_{1}^{\prime} b_{12} + \dots + \bm{a}_{n}^{\prime} b_{n2} & \dots & \bm{a}_{1}^{\prime} b_{1n} + \dots + \bm{a}_{n}^{\prime} b_{nn} \end{pmatrix} $$

ここで、右辺の第$i$列目に着目すると、$i$列目は
$$ \bm{a}_{1}^{\prime} b_{1i} + \dots + \bm{a}_{n}^{\prime} b_{ni} = \begin{pmatrix} a_{11} b_{1i} \\ \vdots \\ a_{n1} b_{1i} \end{pmatrix} + \dots + \begin{pmatrix} a_{1n} b_{ni} \\ \vdots \\ a_{nn} b_{ni} \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} a_{11} b_{1i} + \dots + a_{1n} b_{ni} \\ \vdots \\ a_{n1} b_{1i} + \dots + a_{nn} b_{ni} \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} \bm{a}_{1} \bm{b}_{i}^{\prime} \\ \bm{a}_{2} \bm{b}_{i}^{\prime} \\ \vdots \\ \bm{a}_{n} \bm{b}_{i}^{\prime} \\ \end{pmatrix} $$ なので、 $$ \small \begin{pmatrix} \bm{a}_{1}^{\prime} b_{11} + \dots + \bm{a}_{n}^{\prime} b_{n1} & \bm{a}_{1}^{\prime} b_{12} + \dots + \bm{a}_{n}^{\prime} b_{n2} & \dots & \bm{a}_{1}^{\prime} b_{1n} + \dots + \bm{a}_{n}^{\prime} b_{nn} \end{pmatrix}=AB $$ である。

4の検証
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$$ A\begin{pmatrix} \bm{b}_{1} \\ \vdots \\ \bm{b}_{n} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} \bm{b}_{1} + \dots + a_{1n} \bm{b}_{n} \\ a_{21} \bm{b}_{1} + \dots + a_{2n} \bm{b}_{n} \\ \vdots \\ a_{n1} \bm{b}_{1} + \dots + a_{nn} \bm{b}_{n} \end{pmatrix} $$

ここで、右辺の第$i$行目に着目すると、$i$行目は、 $$ a_{i1} \bm{b}_{1} + \dots + a_{in} \bm{b}_{n} = \begin{pmatrix} a_{i1} \begin{pmatrix} b_{11} & \dots & b_{1n} \end{pmatrix} + \dots + a_{in} \begin{pmatrix} b_{n1} & \dots & b_{nn} \end{pmatrix} \end{pmatrix} \\ \small = \begin{pmatrix} a_{i1} b_{11} + \dots + a_{in} b_{n1} & a_{i1} b_{12} + \dots + a_{in} b_{n2} & \dots & a_{i1} b_{1n} + \dots + a_{in} b_{nn} \end{pmatrix} \\ \normalsize = \begin{pmatrix} \bm{a}_{i} \bm{b}_{1}^{\prime} & \bm{a}_{i} \bm{b}_{2}^{\prime} & \dots & \bm{a}_{i} \bm{b}_{n}^{\prime} \end{pmatrix} $$ である。

よって、 $$ A\begin{pmatrix} \bm{b}_{1} \\ \vdots \\ \bm{b}_{n} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} \bm{b}_{1} + \dots + a_{1n} \bm{b}_{n} \\ a_{21} \bm{b}_{1} + \dots + a_{2n} \bm{b}_{n} \\ \vdots \\ a_{n1} \bm{b}_{1} + \dots + a_{nn} \bm{b}_{n} \end{pmatrix} = AB $$ である。

まとめ
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行列$A, \space B$の積$AB$について以下の等式が成り立つ。 $$ AB= \begin{pmatrix}\bm{a}_{1}^{\prime} & \dots & \bm{a}_{n}^{\prime} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \bm{b}_{1} \\ \vdots \\ \bm{b}_{n} \\ \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} \bm{a}_{1} \\ \vdots \\ \bm{a}_{n} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\bm{b}_{1}^{\prime} & \dots & \bm{b}_{n}^{\prime} \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix}\bm{a}_{1}^{\prime} & \dots & \bm{a}_{n}^{\prime} \end{pmatrix} B \\ = A\begin{pmatrix} \bm{b}_{1} \\ \vdots \\ \bm{b}_{n} \\ \end{pmatrix} $$

その他
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分配法則モドキ(?)
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行列の積$AP$が定義されるとする。
$P$の列ベクトルを$\bm{p}_{i}^{\prime}$とする。

胡散臭いが $$ A \begin{pmatrix} \bm{p}_{1}^{\prime} & \dots & \bm{p}_{n}^{\prime} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A\bm{p}_{1}^{\prime} & \dots & A \bm{p}_{n}^{\prime} \end{pmatrix} $$ が成り立つ。

これもよく使われている。

証明
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まず、先程の2を利用すると $$ A \begin{pmatrix} \bm{p}_{1}^{\prime} & \dots & \bm{p}_{n}^{\prime} \end{pmatrix}=AP $$ であることが示されるので、 $$ \begin{pmatrix} A\bm{p}_{1}^{\prime} & \dots & A \bm{p}_{n}^{\prime} \end{pmatrix} = AP $$ であることを示せばよい。

$$ \begin{pmatrix} A\bm{p}_{1}^{\prime} & \dots & A \bm{p}_{n}^{\prime} \end{pmatrix} $$ の第$i$列に着目すると、 $$ A\bm{p}_{i}^{\prime} = \begin{pmatrix} \bm{a}_{1} \bm{p}_{i}^{\prime} \\ \vdots \\ \bm{a}_{n} \bm{p}_{i}^{\prime} \\ \end{pmatrix} $$ なので、 $$ \begin{pmatrix} A\bm{p}_{1}^{\prime} & \dots & A \bm{p}_{n}^{\prime} \end{pmatrix} = AP $$ である。