線形変換と直和

線形変換と直和
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線形変換$f: V \to V$の表現行列を$A_f$とする。

そして、$V_{1}, \space \dots, \space V_{s}$をそれぞれ$f$に関する不変部分空間とする。

$V_{x}$の基底を$\bm{v}_{1}^{x}, \space \dots, \space \bm{v}_{\dim V_{x}}^{x}$と表す。

いま、 $$ \bm{v}_{1}^{1}, \space \dots, \space \bm{v}_{\dim V_{1}}^{1}, \space \dots, \space \bm{v}_{1}^{s}, \space \dots, \space \bm{v}_{\dim V_{s}}^{s} $$ が$V$の基底であると仮定すると、$V$は $V= V_{1} \oplus \dots \oplus V_{s}$ と直和分解される。

仮定より、$V_{x}$は$f$-不変なので、 $$ A_{f}\bm{v}_{i}^{x} = \sum_{j=1}^{\dim V_{x}} c_{ji}^{x}\bm{v}_{j}^{x} \quad (1) $$ と表すことができる。($c$は適当なスカラー)

この係数の$c$に着目して、 $$ A_{x}=(c_{ji}^{x}) $$ という正方行列を考えることができる。

そして、$V$の基底を列ベクトルとしてもつ正則行列$P$を $$ P=(\bm{v}_{1}^{1}, \space \dots, \space \bm{v}_{\dim V_{1}}^{1}, \space \dots, \space \bm{v}_{1}^{s}, \space \dots, \space \bm{v}_{\dim V_{s}}^{s}) $$ と定義すると、上述の関係はまとめて、 $$ A_{f}P=P\begin{pmatrix} A_{1} & & & O \\ & A_{2} & & \\ & & \ddots & \\ O & & & A_{s} \end{pmatrix} $$ と表すことができる。

最初の数列について検算(クリックで展開)

まず、🔗分配法則モドキ(?)を利用すると、 $$ A_{f}(\bm{v}_{1}^{1}, \space \dots, \space \bm{v}_{\dim V_{1}}^{1}, \space \dots) \\ = (A_{f}\bm{v}_{1}^{1}, \space \dots, \space A_{f} \bm{v}_{\dim V_{1}}^{1}, \space \dots) $$ である。

$$ (A_{f}\bm{v}_{1}^{1}, \space \dots, \space A_{f} \bm{v}_{\dim V_{1}}^{1}, \space \dots) \\ = (\bm{v}_{1}^{1}, \space \dots, \space \bm{v}_{\dim V_{1}}^{1}, \space \dots) \begin{pmatrix} c_{11}^{1} & c_{12}^{1} & \dots & c_{1 \space \dim V_{1}}^{1} & \dots \\ c_{21}^{1} & c_{22}^{1} & \dots & c_{2 \space \dim V_{1}}^{1} & \dots \\ \vdots & \vdots & \dots & \vdots & \dots \\ c_{\dim V_{1} \space 1}^{1} & c_{\dim V_{1} \space 2}^{1} & \dots & c_{\dim V_{1} \space \dim V_{1}}^{1} & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{pmatrix} $$ なので、両辺の最初の数列に着目すると、確かに先程の関係が埋め込まれていることがわかる。

$P$は正則行列なので、 $$ P^{-1}A_{f}P=\begin{pmatrix} A_{1} & & & O \\ & A_{2} & & \\ & & \ddots & \\ O & & & A_{s} \end{pmatrix} $$ と変形できる。

いま、$V$の任意のベクトル$\bm{x}$と$A_{f}\bm{x}$はそれぞれ $$ \bm{x} = \sum_{x=1}^{s}\sum_{i=1}^{\dim V_{x}} p_{i}^{x} \bm{v}_{i}^{x} \\ A_{f}\bm{x} = \sum_{x=1}^{s}\sum_{i=1}^{\dim V_{x}} q_{i}^{x} \bm{v}_{i}^{x} $$ と基底の一次結合で表される。($p,\space q$は適当なスカラー)

そこで、$A_{f}\bm{x}$を2通りの方法で表すことを考える。

第一式の両辺に$A_{f}$をかけて $$ A_{f}\bm{x} = A_{f} \sum_{x=1}^{s}\sum_{i=1}^{\dim V_{x}} p_{i}^{x} \bm{v}_{i}^{x} \\ A_{f}\bm{x} = \sum_{x=1}^{s}\sum_{i=1}^{\dim V_{x}} p_{i}^{x} A_{f} \bm{v}_{i}^{x} \\ A_{f}\bm{x} = \sum_{x=1}^{s}\sum_{i=1}^{\dim V_{x}} p_{i}^{x} \sum_{j=1}^{\dim V_{x}} c_{ji}^{x} \bm{v}_{j}^{x} \quad \because (1) \\ A_{f}\bm{x} = \sum_{x=1}^{s} \sum_{j=1}^{\dim V_{x}} \sum_{i=1}^{\dim V_{x}} p_{i}^{x} c_{ji}^{x} \bm{v}_{j}^{x} \\ A_{f}\bm{x} = \sum_{x=1}^{s} \sum_{j=1}^{\dim V_{x}} (\sum_{i=1}^{\dim V_{x}} p_{i}^{x} c_{ji}^{x}) \bm{v}_{j}^{x} $$ と変形できる。

🔗高校数学の美しい物語: シグマ計算を機械的に行うための３つの公式
最後の変形は実際に展開してみると成り立つことがわかる。
毎回$\bm{v}_{j}^{x}$をかけるのと、和に後から分配法則でかけるのは同じ結果をもたらす。

よって、 $$ \sum_{x=1}^{s}\sum_{i=1}^{\dim V_{x}} q_{i}^{x} \bm{v}_{i}^{x} = \sum_{x=1}^{s} \sum_{j=1}^{\dim V_{x}} (\sum_{i=1}^{\dim V_{x}} p_{i}^{x} c_{ji}^{x}) \bm{v}_{j}^{x} $$ である。

この関係は行列を用いると、以下のように表すことができる。 $$ \begin{pmatrix} q_{1}^{1} \\ \vdots \\ q_{\dim V_{1}}^{1} \\ \vdots \\ q_{1}^{s} \\ \vdots \\ q_{\dim V_{s}}^{s} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_{1} & & & O \\ & A_{2} & & \\ & & \ddots & \\ O & & & A_{s} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p_{1}^{1} \\ \vdots \\ p_{\dim V_{1}}^{1} \\ \vdots \\ p_{1}^{s} \\ \vdots \\ p_{\dim V_{s}}^{s} \end{pmatrix} $$

🔗線形写像の表現行列の定義を振り返ると、右辺の行列はまさに線形変換$f$の表現行列になっていることがわかる。

更に、🔗相似な行列の固有多項式は一致することと、行列式の性質より、正方行列$X, \space Y$に関して $$ \begin{vmatrix} X & * \\ O & Y \end{vmatrix} = |X||Y| $$ であることより、 $$ \phi_{A}(t)= |A - t E|= |A_{1} - tE| \dots |A_{s} - tE| $$ である。

整理、解釈
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まず、上述の議論が任意の線形変換$f: V \to V$について成り立つことに注意。

ベクトル空間$V$が$V= V_{1} \oplus \dots \oplus V_{s}$と直和分解され、$V_{1}, \space \dots, \space V_{s}$をそれぞれ$f$-不変であるとき、線形変換$f$の表現行列は基底をうまく取ることによって、 $$ \begin{pmatrix} A_{1} & & & O \\ & A_{2} & & \\ & & \ddots & \\ O & & & A_{s} \end{pmatrix} $$ とブロック対角行列にすることができる。

上述の証明の途中で $$ P^{-1}A_{f}P=\begin{pmatrix} A_{1} & & & O \\ & A_{2} & & \\ & & \ddots & \\ O & & & A_{s} \end{pmatrix} $$ であることが示されたが、これは線形変換$f$の表現行列はこのブロック対角行列と相似であることを示している。

基底を取り替えることによってブロック対角化できるということだ。

🔗基底の取り替えと線形写像の表現行列の関係

注意が必要なのは、今は議論している$V$の線形変換について、表現行列が常に $$ \begin{pmatrix} A_{1} & & & O \\ & A_{2} & & \\ & & \ddots & \\ O & & & A_{s} \end{pmatrix} $$ の形になるというわけではない。

🔗線形写像の表現行列は基底の取り方によって変わることを思い出すと、例えば基底の順番を適当に入れ替えると表現行列はブロック対角とは限らなくなることがわかる。

しかし、どのような形であれどブロック対角行列と相似である。

よって、線形変換が直和で "分解" されると捉えることができる。