線形写像の核空間、像空間

核空間
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線形写像$f: V \to W $について核空間とは、 $$ \mathrm{Ker} f = \lbrace \bm{v} \in V, \space f(\bm{v})=\bm{0} \rbrace $$ のことだった。
$\mathrm{Ker} f$は$V$の部分空間である。

つまり、核空間とは線形写像での行き先が$0$になるような$V$の部分空間のことだ。

上で定義された線形写像$f$について像空間とは、 $$ \mathrm{Im} f = \lbrace f(\bm{v}), \space \bm{v} \in V \rbrace $$ のことだ。

つまり、線形写像の行き先が埋め尽くす$W$の部分空間のことである。

核空間、像空間がそれぞれ部分空間であることは$f$の線形性によって示せるので省略。

$$ \dim V =\dim \space \mathrm{Ker} f + \dim \space \mathrm{Im} f $$ が成り立つ。

証明は調べれば出るので省略。

核空間と像空間の定義を参照する必要があるので別記事から切り出した。