基底の延長定理(Basis Extension Theorem) #
基底の延長定理とはベクトル空間\(V\)の部分空間\(W\)の基底に\(V\)のベクトルを足すことで\(V\)の基底を得ることができるという定理だ。
時々使われる定理なので知名度が高い。
そのため詳細な証明は探せばいくらでも見つかるのでそれはそちらに任せておく。
証明もそんなに長くはない。
この定理の証明は\(W\)の基底\(\{\bm{w}_1,\space \dots, \space \bm{w}_{\dim W}\}\)に\(V\)の基底\(\{\bm{v}_1,\space \dots, \space \bm{v}_{\dim V}\}\)からベクトルを一つずつ足していって、それが一次独立であればそのまま操作を続けていき、一次従属であればそのベクトルは取り除いて操作を続けて\(V\)の基底を得るという流れで示されることが多い。(はず 数件見た限りでは)
よって、例えば $$ \{\bm{w}_1,\space \dots, \space \bm{w}_{\dim W}, \space \bm{v}_1\} $$ のようなベクトルの集合を考えることになる。
これらのベクトルが一次独立であるかどうかが問題になる。
この問は $$ a_1 \bm{w}_1 + \dots + a_{\dim W}\bm{w}_{\dim W} = \bm{v}_1 $$ と表すことができるか？ という問いに言い換えることができる。
表すことができるのであれば、\(\bm{v}_1\)は\(W\)の基底の一次結合で表現できるので(生成される)\(\bm{v}_1 \in W\)である。
そして、表すことができないのであれば\(\bm{v}_1 \notin W\)である。
仮定より、\(\{\bm{v}_i, \space \bm{v}_j\}\quad (i \neq j)\)は一次独立なので、\(\bm{v}_2, \space \bm{v}_3, \space \dots\)と\(V\)の基底を得るまで同じことを考えれば良い。
\(V\)の基底からベクトルを取ってくるのだから、ベクトルが足りなくて基底を得られないということは起こり得ない。