性質 #
\(V\)をベクトル空間、\(W\)をその部分空間とする。
$$ [\bm{x}] \in V/W \quad \bm{x} \in V $$ に関して\(\bm{x} \in W\)であれば $$ [\bm{x}] = W $$ である。
証明 #
\(\bm{x} \in W\)に関して $$ [\bm{x}]=\bm{x}+W = \{\bm{x} + \bm{w}| \space \bm{w} \in W\} $$ であり、ベクトル空間の公理より加法の逆元\(-\bm{x}\)が存在するので $$ \{\bm{x} + \bm{w}| \space \bm{w} \in W\} \\ = \{\bm{x} +( - \bm{x} + \bm{w}^{\prime})| \space \bm{w}^{\prime} \in W\} $$ と\( - \bm{x} + \bm{w}^{\prime} \in W\)なので\(\bm{w}\)を置き換えることができる。
更に変形すると、結局 $$ = \{ \bm{w}^{\prime}| \space \bm{w}^{\prime} \in W\} = W $$ となる。