空間上の平面、平面上の直線の方程式

平面上の直線の方程式
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$xy$平面における直線の方程式は $$ ax + by +c = 0 $$ で与えられる。

導出
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中学数学で習ったとおり、傾き$t$切片$n$の直線は $$ y=tx+n $$ である。

この形式では$x$軸に垂直な直線は傾きが定義されないため、表すことができない。

任意の直線を表す式を得たいので、先程の直線にくわえて $$ x=k $$ という$x$軸に垂直な直線の方程式を考える。

ふたつの方程式は適切に変形すると$ax+by+c=0$の特殊な場合であることが分かるので$ax+by+c=0$で任意の直線を表すことができる。

空間上の平面の方程式
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三次元空間における平面の方程式は $$ ax + by + cz + d = 0 $$ で与えられる。

$(x, \space y, \space z)$は空間上の任意の点。

この平面は法線ベクトル$v =\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ をもつ。

導出
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これはちょっとだるい。

まず、平面$P$は空間上のある点$p=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$を通って $p$を始点とする平面に垂直な法線ベクトル$v=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$をもつと考えることができる。

任意の点$q=\begin{pmatrix} i \\j \\ k \end{pmatrix}$が平面$P$上にあるということは、法線ベクトル$v$と$ q - p$(もしく$p - q$)が垂直であるということである。

つまり、内積を使って表すと $$ (v, \space q - p)= (v,\space q) + (v,\space -p) = (v,\space q) - (v,\space p) =0 $$ を満たすとき、$q$が平面$P$上に存在する。

内積の定義より$(e,\space f + g)=(e, \space f)+(e, \space g)$と
$(k e,\space f)=(e,\space kf)=k(e,\space f)$が成り立つ。

ここで、成分で考えると $$ (v, \space q) - (v, \space p) =0 \\ (\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}, \space \begin{pmatrix} i \\j \\ k \end{pmatrix}) - (\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}, \space \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}) = 0 \\ a i + bj + ck = ax + by + cz $$

ここで無理やり$d = ax + by + cz $として $$ ai + bj + ck = d $$ とする。