動機 #
(写像などを用いたしっかり(？)とした)定義を学習したことがなかったので確認しておくことにした。
ベクトル空間の基底の定義 #
\(V\)を体\(K\)上のベクトル空間とする。
\(\bm{v}_1, \space \dots, \space \bm{v}_{\dim V} \in V\)を一次結合\(a_1 \bm{v}_1, \space \dots, \space a_{\dim V} \bm{v}_{\dim V} \in V\)に写す写像\(f: K^{\dim V} \to V\)が全単射(可逆)であるとき、\(\{\bm{v}_1, \space \dots, \space \bm{v}_{\dim V} \}\)は\(V\)の基底である。
\(\forall \bm{v} \in V\)に関して、 \(f(a)=\bm{v}\)を満たす\(a \in K^{\dim V}\)はただ一つであるということだ。
あとがき #
\(\{\bm{v}_1, \space \dots, \space \bm{v}_{\dim V}\}\)が一次独立、もしくはその一次結合が\(V\)を生成するものを\(V\)の基底と定義する本も多いが、結果的に上の定義と同値である。
ベクトルが\(\dim V\)個なければ\(V\)の基底になり得ないことに注意。