正の整数\(a, b\)に関して\(gcd(a,b) \cdot lcm(a,b) = ab\)らしい。
\(gcd(a,b) \cdot lcm(a,b) = ab\) #
しっかりとした証明は 🔗https://math.stackexchange.com/questions/349858/easiest-and-most-complex-proof-of-gcd-a-b-times-operatornamelcm-a-b-aのAndré Nicolasという方の回答がわかりやすい。
ここでは、限定的な例における感覚を書いておく。
\(p_i\)を素数として
$$
a= p_1 \cdot p_2 \cdot p_4 \\
b= p_1 \cdot p_3 \cdot p_4 \cdot p_5
$$
のような場合を考える。
\(p_i\)は各々ユニークな素数とする。(\( i \neq j \iff p_i \neq q_j\))
具体的な例では $$ 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \\ 770 = 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 $$ など。
ここで\(gcd(a,b)=p_1 \cdot p_4\)、\(lcm(a,b)=p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot p_4 \cdot p_5\)であり、 \(gcd(42,770)= 2 \cdot 7\)、\(lcm(42,770)=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11\)である。
このことから、\(gcd(a,b)\)は\(a,b\)のそれぞれの素因数分解(の項)から共通するもののみを掛けた形になっている。
集合で言えば\(\cap\)(積集合)のようなイメージ。
\(lcm(a,b)\)は少なくともどちらか一方に存在するものを掛け合わせた形になっている。
こちらは\(\cup\)(和集合)のようなイメージ。
そう考えると\(gcd(a,b) \cdot lcm(a,b) = ab\)もまあ納得がいくはず。
\(lcm(a,b)\)で\(a\)と\(b\)の全ての項が現れて、\(gcd(a,b)\)で重複していて\(ab\)内に2度出現するものが合わさる。
\(gcd(a,b) = lcm(a,b) \implies a=b\) #
こういったものも\(gcd\)が共通であり、それと\(lcm\)が等しいということは $$ x = p_1 \cdot p_2 \cdot … \\ y = p_1 \cdot p_2 \cdot … $$ のようになっていることが分かり、\(x=y\)といえる。
もちろんこれは逆も成立する。
おわり #
別の問題で悩んでいたところ、前提としてどうやらそうらしかったので。
義務教育でこんなんやったか？ 敗戦国の末路
最大公約数とか最小公倍数は当時まともに考えたことがなかったので、良くわからないけどこうするものみたいに手順的に覚えており、全く洞察がなかった。
倍数や約数についても同様だったので、そこらへんについて一度少しやっておこうと思い、やっている。
群論はオアズケだ。