対称群のある元(置換)の可換性に関する命題

support
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$S_n$を対称群とする。

$\sigma \in S_n$に関して $$ supp(\sigma) := \{ i \in \{ 1, \dots, n \}: \ \sigma(i) \neq i \} $$ で定義される集合$supp(\sigma)$をsupportいう。

日本語で言えば、置換$\sigma$で写すと行き先が変わる$\{1, \dots, n\}$の元からなる集合である。

$a, \ b \in S_n$に関して、 $$ supp(a) \cap supp(b) = \emptyset \implies ab = ba $$

$i \in \{1 , \dots, n\}$に関して、 $supp(a) \cap supp(b) = \emptyset$には

$i \notin supp(a) \land i \notin supp(b)$
$i \in supp(a) \land i \notin supp(b)$
対称性を考えると、$i \notin supp(a) \land i \in supp(b)$ と本質的に同様なので、片方のみを議論しても問題ない。
(当然、$i \in supp(a) \land i \in supp(b)$は$supp(a) \cap supp(b) = \emptyset$に反することに注意)

の2パターンがある。

1.の場合、 $$ ab(i) \\ = a(i) \ \because i \notin supp(b) \\ = i \ \because i \notin supp(a) $$ かつ $$ ba(i) \\ = b(i) \\ = i $$ なので、$ab = ba$である。

2.の場合、 $$ ab(i) = a(i) \ \because i \notin supp(b) \\ $$ を得る。

$ba(i)$を考えると、$ba(i) = a(i)$であれば、$ab=ba $であることが示されるが、そのためには$a(i) \notin supp(b)$である必要がある。

そこで、背理法によって、$a(i) \notin supp(b)$であることを示す。
$a(i) \in supp(b)$と仮定する。

$i \in supp(a)$より$a(i) \neq i$であるが、$a$は置換であり、全単射の写像なので、単射性より、$a(i) \neq i \implies a(a(i)) \neq a(i)$を得る。

よって、$a(i) \in supp(a)$となり、$a(i) \in supp(a) \land a(i) \in supp(b)$となるので、$supp(a) \cap supp(b) = \emptyset$に矛盾する。

よって、$a(i) \notin supp(b)$であり、$ab = ba$となる。